矩阵-变换

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2025-05-03 298 words 2 minutes

Contents

矩阵的几何意义

矩阵的几何意义

点和向量能在图像中画出来，那么矩阵可以吗？答案是肯定的，矩阵的可视化结果就是：变换

在游戏开发中，如果你看到了一个矩阵，那么基本上你可以认为你看到的是一个变换，

这些变换一般包含：平移、旋转、缩放

比如：我们想要将一个点、一个向量进行一种变换（平移、旋转、缩放）那么我们可以利用矩阵来进行数学计算，从而达到变换的目的

变换的种类

矩阵的几何意思是变换，在数学中常用的几何变换有两种：

线性变换和仿射变换

他们的主要区别在于是否保持直线的平行性和原点位置

线性变换：

保持直线的平行性和原点位置不变，比如缩放、旋转等操作简而意之就是只对向量进行旋转、缩放等操作，而不影响方向和原点的位置

仿射变换：

由一个线性变换和一个平移组成，比如缩放后、旋转后再平移简而言之就是缩放后、旋转后平移，会改变原点的位置

齐次坐标

齐次坐标是一种在计算机图形学中常用的表示坐标的方式。它是通过引入一个额外的维度来扩展传统的笛卡尔坐标系，就是将一个原本是 n 维的向量或矩阵用 n + 1维来表示，让我们可以更方便的进行几何变换和矩阵运算。

举例：

三维空间中有一个向量或点 ( x , y , z)，它对应的齐次坐标就是给它加一维，变成 (x , y , z , w)，其中 w 值的改变可以让它有具有不同的含义。

为什么要使用齐次坐标进行矩阵运算

主要原因1：

通过齐次坐标，我们可以明确的区分向量和点

三维空间中的 ( x , y , z) ，它既可以表示点，也可以表示向量。可以利用齐次坐标给它加一维，变成 (x , y , z , w)，其中 w = 1 时代表是一个点，w = 0 时代表一个向量。这样就可以明确它是点还是向量了

主要原因2：

3x3矩阵是不能直接表示平移变换,它只能表示线性变换，也就是只能描述对象的旋转、缩放等线性变换，而不能描述对象的平移。

平移涉及到改变对象在空间中的位置，包括移动对象的原点。因此，我们需要引入一个额外的维度来表示平移操作，所以使用齐次坐标来将3x3矩阵加一个维度变为4x4的矩阵

3x3矩阵一般称为线性矩阵，主要处理线性变换（主要进行旋转、缩放等线性变换）

4x4矩阵一般称为仿射矩阵，主要处理仿射变换（线性变换 + 平移变换）

平移矩阵

基础变换矩阵的构成规则

$$ \begin{bmatrix} {\color{Red}M11}&{\color{Red}M12}&{\color{Red}M13}&{\color{blue}t{1}}\\ {\color{Red}M21}&{\color{Red}M22}&{\color{Red}M23}&{\color{blue}t{2}}\\ {\color{Red}M31}&{\color{Red}M32}&{\color{Red}M33}&{\color{blue}t{3}}\\ {\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{green}1}\\ \end{bmatrix} $$

矩阵的 M^3x3部分用于表示旋转和缩放变换

矩阵的 t^3x1> 部分用于表示平移

矩阵的 0^1x3 部分始终为零矩阵

矩阵的右下角元素始终为 1

平移矩阵的构成

平移矩阵的构成规则为：

矩阵的 M^3x3 部分为 3x3 单位矩阵

矩阵的 t ^3x1 部分用于表示 x,y,z 平移多少单位

平移矩阵的计算

与点之间的计算（使用向量的齐次坐标进行计算，w为1，代表是一个点） $$ \begin{bmatrix} {\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{blue}tx}\ {\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{blue}ty}\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{blue}tz}\ {\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{green}1}\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x} \ {y} \ {z} \ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x+tx\ y+ty\ z+tz\ 1\ \end{bmatrix} $$ 从该计算便可以看出为什么3x3的矩阵无法表示平移，而需要使用齐次坐标4x4的矩阵点的x，y，z分量分别增加了一个位置偏移，在几何图像中的效果就是，将点 (x,y,z) 在3D空间中平移了了(tx,ty,tz)个单位

与向量之间的计算（使用向量的齐次坐标进行计算，w为0，代表是一个向量） $$ \begin{bmatrix} {\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{blue}tx}\ {\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{blue}ty}\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{blue}tz}\ {\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{green}1}\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x} \ {y} \ {z} \ 0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} x\ y\ z\ 1\ \end{bmatrix} $$ 从该计算可以发现，向量的平移结果是不会有任何变化的(tx，ty，tz和0相乘)。

平移矩阵是否是正交矩阵

平移矩阵并不是正交矩阵

因为平移矩阵不是正交矩阵，所以我们需要计算它的逆矩阵

$$ \begin{bmatrix} {\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{blue}tx}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{blue}ty}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{blue}tz}\\ {\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{green}1}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{blue}-tx}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{blue}-ty}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{blue}-tz}\\ {\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{teal}0}&{\color{green}1}\\ \end{bmatrix} =I $$

旋转矩阵

旋转操作需要指定一个旋转轴（不一定是空间中的坐标轴）

$$ \begin{bmatrix} {\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}cosβ}&{\color{Red}-sinβ}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}sinβ}&{\color{Red}cosβ}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}\\ \end{bmatrix} $$$$ \begin{bmatrix} {\color{Red}cosβ}&{\color{Red}0}&{\color{Red}sinβ}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}-sinβ}&{\color{Red}0}&{\color{Red}cosβ}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}\\ \end{bmatrix} $$$$ \begin{bmatrix} {\color{Red}cosβ}&{\color{Red}-sinβ}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}sinβ}&{\color{Red}cosβ}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}\\ \end{bmatrix} $$

旋转矩阵的计算

需要注意的是，旋转矩阵主要是由基础变换矩阵的构成规则当中的 3x3 矩阵决定的因此，平移部分的3x1矩阵都为0，并不影响计算

所以点（ w=1）和向量（w=0）与旋转矩阵进行计算都会发生改变。

旋转矩阵是否是正交矩阵

旋转矩阵是正交矩阵

因此 x、y、z 轴的旋转矩阵的逆矩阵是它们的转置矩阵

我们可以利用旋转矩阵的逆矩阵来进行还原旋转

缩放矩阵

缩放矩阵的构成

缩放矩阵主要就是对向量或点进行缩放操作，它可以用于改变向量或点再各个坐标轴上的尺度使其在每个方向上变大或变小，在三维空间中，它主要由x、y、z轴的缩放因子构成。

$$ \begin{bmatrix} {\color{Red}kx}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}ky}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}kz}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}\\ \end{bmatrix} $$

注意：kx = ky = kz 时，称为统一缩放，否则称为非统一缩放。

缩放矩阵的计算

缩放矩阵主要是由基础变换矩阵的构成规则当中的 3x3 矩阵决定的因此，平移部分的3x1矩阵都为0，并不影响计算。

所以点（ w=1）和向量（w=0）与缩放矩阵进行计算都会发生改变。

几何意义是：

对点的缩放（一般是构成模型的顶点），相当于就是在缩放模型大小。

对向量的缩放，统一缩放时只会改变向量的大小（模长），不会改变向量的方向

非统一缩放时不仅会改变大小，可能还会改变向量的方向

缩放矩阵是否是正交矩阵

缩放矩阵通常不是正交矩阵

为什么说通常不是呢，因为对于缩放矩阵来说kx、ky、kz一般都不会是1，是1后就会是单位矩阵了。

$$ \begin{bmatrix} {\color{Red}1/kx}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}1/ky}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1/kz}&{\color{Red}0}\\ {\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}0}&{\color{Red}1}\\ \end{bmatrix} $$

复合运算

所谓的复合运算，其实就是我们在计算矩阵变换时，可以把平移、旋转、缩放等计算组合起来通过结合多矩阵的乘法，来形成一个复杂的变换过程。

P_新= M_平移M_旋转M_缩放P_老

计算顺序对结果的影响

在进行复合运算时，变换的结果依赖于变换的顺序

原因：

矩阵乘法不满足交换律

也就是说，不同的变换顺序得到的计算结果也可能是不一样的。

Unity中需要遵守的规则

在进行平移、旋转、缩放的复合运算时

绝大多数情况下，我们约定的变换顺序为：

先缩放、再旋转、后平移

在进行x轴、y轴、z轴旋转的复合运算时

绝大多数情况下，我们约定的变换顺序为：

z->x->y